1.
hakkında onlarca tanım olan ama hepsi bir şekilde eksik kalan matematiksel nesne. yine de "n boyutlu sayı dizileri" şeklinde son derece eksik bir tanımla giriş yapabiliriz.
aslında tensörün tanımı, vektörlerin genelleştirilmiş hali gibi düşünülebilir. ancak her vektör bir tensörken, her tensör bir vektör değildir.
özellikle einstein denklemleri gibi konularda, yani modern fizikte karşımıza çıkabilecek olan tensör terimini, konuya ilgisi olan ama işin matematiği hakkında fazla bilgisi olmayan arkadaşlar için anlatmaya çalışalım. biraz ders niteliğinde ve çok uzun bir tanım olacak.
***
önce vektörün ne olduğunu bilmeyenler için bir şeyler yazalım. bilenler ama tensörün ne işe yaradığını, neden kullanıldığını bilmeyenler doğrudan son bölüme atlayabilirler.
vektörler, belirli büyüklükleri ve yönleri olan fiziksel niceliklerdir. bir ok ile sembolize edilirler. aşağıda a ve b vektörlerini görüyorsunuz:
görselin kaynağı
gördüğünüz gibi a ve b harflerinin üzerinde küçük birer ok var. bunlar, a ve b'nin birer vektör olduğunu göstermek için çizilir.
fizikte hız, kuvvet gibi bazı büyüklüklerin aynı zamanda yönleri de vardır. bu nedenle bunlar vektörlerle ifade edilir ve vektörel büyüklük olarak adlandırılırlar. örneğin sıcaklık kavramının herhangi bir yönü yoktur. "hava 29 derece" dersiniz ve olay biter. ancak bir arabanın saatte 100 km hız ile batı yönünde gittiğini yahut bir mıknatısın manyetik alanının bir kutuptan diğerine doğru olduğunu söyleyebilirsiniz. özetle vektörler, yönü olan nicelikler için kullanılırlar.
vektörleri, koordinat sistemi dediğimiz düzlemde gösteririz:
görselin kaynağı
gördüğünüz gibi bu, içinde yaşadığımız evren gibi 3 (ve hatta zamanla beraber 4) boyutlu değil. sadece 2 boyutlu bir gösterim: x ve y düzlemlerinden oluşuyor.
işte kartezyen koordinat sisteminde gösterilmiş olan bir k vektörü:
görselin kaynağı
***
şimdi gelelim bir vektörün izdüşümünün ne olduğuna. aşağıdaki resme bakalım:
görselin kaynağı
vektörlerin izdüşümleri, x ve y eksenlerine vektörün uç kısmından inilen dik çizgilerle bulunur. burada gördüğünüz a vektörünün x ekseni üzerindeki izdüşümü 2 birim. y ekseni üzerindeyse 5 birimlik bir izdüşümü var. bunu (2,5) şeklinde gösteririz matematikte. b için ise bu durum (5,3). görüleceği üzere parantez içine her zaman önce x, sonra y değeri yazılır.
***
şimdi işi biraz büyütelim ve x-y yerine x-y-z şeklinde 3 boyutlu bir düzlem düşünelim. artık manzara şuna dönüştü:
görselin kaynağı
bunun 2 boyuttan tek farkı z ekseninin varlığı. yine aynı şekilde, herhangi bir vektörün eksenler üzerindeki izdüşüm değerlerini x, y, z sıralaması ile (2,7,6) şeklinde 3 harf ile gösterebiliriz. vektörlerin eksenler üzerindeki izdüşümlerine, o vektörün bileşenleri denildiğini de burada belirtelim.
tam burada devreye başka bir bilgi sokalım. bilgiyi şimdi ekliyorum ama aslında bu 2 boyut da dahil olmak üzere tüm boyutlar için geçerli. vektörlerin x, y, z ve varsa diğer boyutlardaki bileşenlerini vektörü temsil eden harfin sağ alt kısmına ufak şekilde, eksenin ismini yazarak gösterebiliyoruz ki buna alt indis de deniyor. şöyle:
görselin kaynağı
yukarıdaki görselde ax = 4 dediğimiz şey "a vektörünün x ekseni üzerindeki izdüşümü (ya da x bileşeni) 4'e eşittir" anlamına gelir.
şimdi yine yeni bir bilgi geliyor; bu a vektörünün, tüm eksenler üzerindeki izdüşümlerinin sadece 1'er birim olduğunu hayal edin. yani:
ax = 1
ay = 1
az = 1
bunlara birim vektör denir. özel bir gösterimleri vardır:
görselin kaynağı
gördüğünüz şapkalı i, j ve k harfleri birim vektörleri temsil eder.
***
buraya kadar anlattığım olaylarda koordinat sisteminin uzaydaki yönelimi tamamen bizim seçimimize bağlı olarak değişebilir. hatta birim vektörlerin uzunluğunu bile 1 birimden farklı olarak seçip yepyeni bir koordinat sistemi tanımlayabiliriz.
şöyle düşünelim; koordinat sistemiyle ilgili koyduğum ilk resimde x ekseni yatay, y ekseni dikeydi. bunun tam tersini kabul edebilirim. yahut eksenleri, karşıdan bakıldığında tam yatay ve dikey değil, biraz döndürerek açılı olarak seçebilirim. örneğin aşağıdaki sistemleri incelerseniz, eksenlerin her sistemde farklı yöne doğru yöneldiğini görebilirsiniz. kimisinde z aşağıya doğru örneğin, kimisinde yukarıya doğru vs...
görselin kaynağı
böylece aynı vektörü bambaşka şekillerde tanımlayabiliriz.
bu durumda karşımıza bir sorun çıkıyor: bir vektörle sembolize ettiğimiz herhangi bir nicelik sabit olsa da, seçilen sisteme bağlı olarak koordinatlar ve vektörel bileşimler herkese göre değişebilir. bu durum hesaplamalarda sorun çıkarabilir. işte tensörün işe yaradığı yer burasıdır: vektörlerin ve bileşenlerinin, tüm referans sistemlerindeki gözlemciler için aynı şekilde anlaşılmasının yolunu açar. vektör - vektör ilişkilerini, skaler (yönsüz büyüklük) - skaler ilişkilerini ve hatta diğer tensörlerle olan ilişkileri ifade etmekte kullanılır. genel göreliliğin matematiğini ve evreni anlamak için tensörleri anlamak şarttır.
skaler dediğimiz düz sayılar, 0. mertebeden tensörlerdir. vektörler 1. mertebeden, matrisler 2. mertebeden tensörlerken, daha büyük boyutlu sayı dizileri 3. mertebeden tensörler olarak kabul edilirler.
görselin kaynağı
not: konu bütünlüğü olması açısından tanımın ilgili kısmını vektör başlığına girmek yerine buraya yazmayı tercih ettim.
aslında tensörün tanımı, vektörlerin genelleştirilmiş hali gibi düşünülebilir. ancak her vektör bir tensörken, her tensör bir vektör değildir.
özellikle einstein denklemleri gibi konularda, yani modern fizikte karşımıza çıkabilecek olan tensör terimini, konuya ilgisi olan ama işin matematiği hakkında fazla bilgisi olmayan arkadaşlar için anlatmaya çalışalım. biraz ders niteliğinde ve çok uzun bir tanım olacak.
***
önce vektörün ne olduğunu bilmeyenler için bir şeyler yazalım. bilenler ama tensörün ne işe yaradığını, neden kullanıldığını bilmeyenler doğrudan son bölüme atlayabilirler.
vektörler, belirli büyüklükleri ve yönleri olan fiziksel niceliklerdir. bir ok ile sembolize edilirler. aşağıda a ve b vektörlerini görüyorsunuz:
görselin kaynağı
gördüğünüz gibi a ve b harflerinin üzerinde küçük birer ok var. bunlar, a ve b'nin birer vektör olduğunu göstermek için çizilir.
fizikte hız, kuvvet gibi bazı büyüklüklerin aynı zamanda yönleri de vardır. bu nedenle bunlar vektörlerle ifade edilir ve vektörel büyüklük olarak adlandırılırlar. örneğin sıcaklık kavramının herhangi bir yönü yoktur. "hava 29 derece" dersiniz ve olay biter. ancak bir arabanın saatte 100 km hız ile batı yönünde gittiğini yahut bir mıknatısın manyetik alanının bir kutuptan diğerine doğru olduğunu söyleyebilirsiniz. özetle vektörler, yönü olan nicelikler için kullanılırlar.
vektörleri, koordinat sistemi dediğimiz düzlemde gösteririz:
görselin kaynağı
gördüğünüz gibi bu, içinde yaşadığımız evren gibi 3 (ve hatta zamanla beraber 4) boyutlu değil. sadece 2 boyutlu bir gösterim: x ve y düzlemlerinden oluşuyor.
işte kartezyen koordinat sisteminde gösterilmiş olan bir k vektörü:
görselin kaynağı
***
şimdi gelelim bir vektörün izdüşümünün ne olduğuna. aşağıdaki resme bakalım:
görselin kaynağı
vektörlerin izdüşümleri, x ve y eksenlerine vektörün uç kısmından inilen dik çizgilerle bulunur. burada gördüğünüz a vektörünün x ekseni üzerindeki izdüşümü 2 birim. y ekseni üzerindeyse 5 birimlik bir izdüşümü var. bunu (2,5) şeklinde gösteririz matematikte. b için ise bu durum (5,3). görüleceği üzere parantez içine her zaman önce x, sonra y değeri yazılır.
***
şimdi işi biraz büyütelim ve x-y yerine x-y-z şeklinde 3 boyutlu bir düzlem düşünelim. artık manzara şuna dönüştü:
görselin kaynağı
bunun 2 boyuttan tek farkı z ekseninin varlığı. yine aynı şekilde, herhangi bir vektörün eksenler üzerindeki izdüşüm değerlerini x, y, z sıralaması ile (2,7,6) şeklinde 3 harf ile gösterebiliriz. vektörlerin eksenler üzerindeki izdüşümlerine, o vektörün bileşenleri denildiğini de burada belirtelim.
tam burada devreye başka bir bilgi sokalım. bilgiyi şimdi ekliyorum ama aslında bu 2 boyut da dahil olmak üzere tüm boyutlar için geçerli. vektörlerin x, y, z ve varsa diğer boyutlardaki bileşenlerini vektörü temsil eden harfin sağ alt kısmına ufak şekilde, eksenin ismini yazarak gösterebiliyoruz ki buna alt indis de deniyor. şöyle:
görselin kaynağı
yukarıdaki görselde ax = 4 dediğimiz şey "a vektörünün x ekseni üzerindeki izdüşümü (ya da x bileşeni) 4'e eşittir" anlamına gelir.
şimdi yine yeni bir bilgi geliyor; bu a vektörünün, tüm eksenler üzerindeki izdüşümlerinin sadece 1'er birim olduğunu hayal edin. yani:
ax = 1
ay = 1
az = 1
bunlara birim vektör denir. özel bir gösterimleri vardır:
görselin kaynağı
gördüğünüz şapkalı i, j ve k harfleri birim vektörleri temsil eder.
***
buraya kadar anlattığım olaylarda koordinat sisteminin uzaydaki yönelimi tamamen bizim seçimimize bağlı olarak değişebilir. hatta birim vektörlerin uzunluğunu bile 1 birimden farklı olarak seçip yepyeni bir koordinat sistemi tanımlayabiliriz.
şöyle düşünelim; koordinat sistemiyle ilgili koyduğum ilk resimde x ekseni yatay, y ekseni dikeydi. bunun tam tersini kabul edebilirim. yahut eksenleri, karşıdan bakıldığında tam yatay ve dikey değil, biraz döndürerek açılı olarak seçebilirim. örneğin aşağıdaki sistemleri incelerseniz, eksenlerin her sistemde farklı yöne doğru yöneldiğini görebilirsiniz. kimisinde z aşağıya doğru örneğin, kimisinde yukarıya doğru vs...
görselin kaynağı
böylece aynı vektörü bambaşka şekillerde tanımlayabiliriz.
bu durumda karşımıza bir sorun çıkıyor: bir vektörle sembolize ettiğimiz herhangi bir nicelik sabit olsa da, seçilen sisteme bağlı olarak koordinatlar ve vektörel bileşimler herkese göre değişebilir. bu durum hesaplamalarda sorun çıkarabilir. işte tensörün işe yaradığı yer burasıdır: vektörlerin ve bileşenlerinin, tüm referans sistemlerindeki gözlemciler için aynı şekilde anlaşılmasının yolunu açar. vektör - vektör ilişkilerini, skaler (yönsüz büyüklük) - skaler ilişkilerini ve hatta diğer tensörlerle olan ilişkileri ifade etmekte kullanılır. genel göreliliğin matematiğini ve evreni anlamak için tensörleri anlamak şarttır.
skaler dediğimiz düz sayılar, 0. mertebeden tensörlerdir. vektörler 1. mertebeden, matrisler 2. mertebeden tensörlerken, daha büyük boyutlu sayı dizileri 3. mertebeden tensörler olarak kabul edilirler.
görselin kaynağı
not: konu bütünlüğü olması açısından tanımın ilgili kısmını vektör başlığına girmek yerine buraya yazmayı tercih ettim.
devamını gör...