karekök 2'nin irrasyonel oluşunun ispatı

öncelikle "payda sıfır olmamak şartıyla iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir."

buradaki ispat olmayana ergi yöntemiyle yapılmıştır.

hani rte diyor ya "diktatör olsam diktatör diyemezdiniz" diye, o da aslında olmayana ergi yoluyla bir şey ispatlamaya çalışıyor. allah'tan bir matematik mensubu değil de bir ekonomi uzmanı... (bkz: ben tıp mensubu değilim. benim alanım ekonomi)

yukarıdaki tanımdan yola çıkarak farz edelim ki karekök 2 bir rasyonel sayı * ve aralarında asal a ve b sayılarının birbirine bölünmesi ile ifade edilebiliyor.

--> a/b = karekök 2 olsun. dolayısıyla a²/b² = 2'dir.

--> yani a² = 2b² dir. yani a² çifttir. çünkü eşitliğin sağ tarafında 2 ile çarpılan bir sayı var.

--> a² çift ise a da çift bir sayıdır. çünkü ancak bir çift tam sayının karesi çift olabilir. o zaman a = 2c şeklinde yazılabilir.

--> yukarıdaki denklemde a'nın yerine koyarsak (2c)² = 2b² olur. yani 4c² = 2b².

--> denklemi 2 ile sadeleştirirsek 2c² = b² olur. demek ki b de çifttir.

bu da çelişkidir. çünkü varsayımımız gereği hem a hem b çift olamaz. olsaydı aralarında asal olmazlardı.