pappus'un ağırlık merkezi problemi

öncelikle teoremin adı pappus' centroid theorem. türkçe matematik kitabım olmadığı için bana biraz sakil gelen bu tabiri kullandım. özür dilerim

matematikte, pappus'un ağırlık merkezi teoremi (guldinus teoremi, pappus-guldinus teoremi veya pappus teoremi olarak da bilinir) dönen yüzeylerin ya da dönen katıları yaratığı üç boyutlu nesnelerin yüzey alanları ve hacimleriyle ilgili ve birbiriyle ilişkili iki teoremden biridir.

teoremler iskenderiyeli pappus'a ve paul guldin'e atfedilir. pappus'un bu teoremle ilgili ifadesi ilk kez 1659'da basılı olarak görünür, ancak daha önce kepler tarafından 1615'te ve guldin tarafından 1640'ta biliniyordu.
basit bir örnek vereyim: bir ikizkenar üçgen tabana ait yükseklik etrafında (tabi ki uzayda) döndürülürse bir koni oluşur teorem bu koninin alanını ve hacmini hesaplamamıza yarar.
birinci teorem:
bir düzlem eğrisi c'nin, c'nin dışındaki bir eksen etrafında ve aynı düzlem üzerinde döndürülmesiyle oluşturulan bir dönme yüzeyinin yüzey alanı a'nın, c'nin yay uzunluğu s ile c'nin geometrik ağırlık merkezinin kat ettiği d uzaklığının çarpımına eşit olduğunu belirtir:
örneğin büyük yarıçapı r1 küçük yarıçapı r2 olan bir toroidin alanı
a=(2pi r1) (2 pi r2 ) = 4 pi x pi xr1xr2’dir


ikinci teorem
ikinci teorem, bir düzlem şekli olan f'nin bir dış eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel bir cismin hacmi v'nin, f'nin alanı a ile f'nin geometrik kütle merkezinin kat ettiği d mesafesinin çarpımına eşit olduğunu belirtir. (f'nin kütle merkezi genellikle sınır eğrisi c'nin kütle merkezinden farklıdır.)
örneğin yukarıda sözü edilen torodin hacmi
v= (pi xr2xr2)(2xpixr1)= 2pi x pi x r1 x r2 x r2