1.
birçok filozofa göre akla uygun düşünmenin anahtarı olarak görülen; ismini, teoremin sahibi olan (bkz: thomas bayes) 'ten alan bayes teoremi, kanser araştırmalarından astronomiye; fizikten psikolojiye kadar birçok alanda kullanılan çok önemli bir teoremdir.
teorem kafa karıştırıcı olduğundan ötürü, yalın ve berrak bir şekilde anlatılan bir siteden alıntı yapıyorum:
"olasılık için p, düşünce için b ve kanıt için e simgeleri kullanılsın. b’nin doğru olma olasılığı p(b) ve e’nin doğru olma olasılığı p(e)‘dir. p(b|e), eğer e doğruysa b’nin ve p(e|b) eğer b doğruysa e’nin olasılığını verir. bu durumda matematiksel formül aşağıdaki gibi olur:
p(b|e) = [p(b). p(e|b)] / p(e)
formülü (veya bu konudaki herhangi bir formülü) ezberlemekten daha önemlisi ne yaptığını ve neden bilmeye değer olduğunu anlamaktır. bayes teoremi, iki olayın koşullu olasılığını ilişkilendirmemizi sağlar. b olayının verildiği a olayının olasılığı, a olayının verildiği b olayının olasılığı ile ilgilidir. bunlar eşit değillerdir ancak yukarıdaki denklem nedeniyle birbirleri ile ilişkilidir.
bir bayes teoremi uygulama örneği
tıbbi testlerden örnek vermek, formülü anlamaya genellikle yardımcı olabilir. diyelim ki yaş grubunuzdaki insanların yüzde birinde meydana geldiği tahmin edilen bir kanser türü için test yaptırdınız. test yüzde 100 güvenilirse pozitif bir testin ne anlama geldiğini bilmek için bayes teoremine ihtiyacınız yok. ancak yine de teoremi sadece nasıl çalıştığını görmek için kullanalım.
hastalık yüz kişiden birinde görüldüğü için p(b) yüzde bir veya 0,01’dir. testin pozitif çıkma olasılığı olan p(e) de öyle. pay ve payda birbirine eşit oldukları için bunları denklemde yerlerine yerleştirdiğiniz zaman birbirlerini sadeleştirirler ve p(b|e) = p (e|b) = 1 olur. böyle bir durum da kanser olma olasılığınız kesindir.
ancak gerçek bir dünyada testler nadiren yüzde yüz güvenilirdir. diyelim ki testiniz yüzde 99 güvenilir. peki bu durumda pozitif bir sonucun kanser olma olasılığı nedir? bayes teoremi gücünü burada gösterir. çoğu insan cevabın yüzde 99 veya buna yakın olduğunu varsayar. oysa ki bayes teoreminin verdiği cevap sadece yüzde 50’dir. nedenini bulmak için verileri bayes denkleminin sağ tarafına yerleştirelim.
p(b) hala 0,01’dir. çünkü bu hastalık 100 kişiden birinde rastlanıyor. kanser hastalığınız varsa testin pozitif çıkma olasılığı olan p(e|b) ise 0,99 olur. çünkü test 100 vakadan 99’unu doğru hesaplayabiliyor. bu durumda p(b).p(e|b) = (0,01).(0,99) yani 0,0099’a eşittir. bu, kanser olma yani gerçekten pozitif çıkma olasılığınızı gösteren değerdir.
peki, payda p(e) ne olacak? işte burası işlerin zorlaştığı yer. p(e), kanser olup olmadığınıza bakılmaksızın testin pozitif çıkma olasılığıdır. başka bir deyişle, p(e) kanser olma ile olmama olasılığınızın toplamı kadardır.
biraz önce kanser olma olasılığı için yaptığımız hesaplamayı şimdi bir kere daha yapmamız gerekir. testimiz yüzde 99 güveniliyor ise yüzde bir yani 0,01 hata veriyor demektir. hastalık 100 kişiden birinde gözlemleniyorsa 100 kişiden 99’unda gözlemlenmiyor demektir. bu 0,99 anlamına gelir. bu iki değeri de birbiri ile çarparsanız sonuç 0,0099’a olacaktır. bu durumda p(e)= 0.0099 + 0.0099= 0.0198 olarak hesaplanır. bunu da formüle eklerseniz sonuç aşağıdaki gibi olur. yani test sonucunuz pozitif çıksa bile bu teste bakarak kanser olduğunuzu anlama olasılığınız yüzde 50’dir.
p(b|e) = 0,0198 / 0,0099 = 0,5
testi tekrar yaptırırsanız, belirsizliği büyük ölçüde azaltabilirsiniz. çünkü kanser olma olasılığınız p(b), şimdi yüzde bir yerine yüzde 50’dir. ikinci testiniz de pozitif çıkarsa, bayes teoremi size kanser olma olasılığınızın yüzde 99 olduğunu söyler. bu örneğin gösterdiği gibi, bayes teoremini yinelemek son derece kesin bilgiler verebilir. ancak testinizin güvenilirliği yüzde 90 ise testin sonucunda iki kez pozitif çıksanız bile kansere yakalanma şansınız hala yüzde 50’den azdır. doktorlar da dâhil olmak üzere çoğu insan için bu olasılıkları anlamak zordur. kanser testi vakası örneği bize yanlış pozitiflere dikkat etmemiz konusunda bir uyarıdır."
teorem kafa karıştırıcı olduğundan ötürü, yalın ve berrak bir şekilde anlatılan bir siteden alıntı yapıyorum:
"olasılık için p, düşünce için b ve kanıt için e simgeleri kullanılsın. b’nin doğru olma olasılığı p(b) ve e’nin doğru olma olasılığı p(e)‘dir. p(b|e), eğer e doğruysa b’nin ve p(e|b) eğer b doğruysa e’nin olasılığını verir. bu durumda matematiksel formül aşağıdaki gibi olur:
p(b|e) = [p(b). p(e|b)] / p(e)
formülü (veya bu konudaki herhangi bir formülü) ezberlemekten daha önemlisi ne yaptığını ve neden bilmeye değer olduğunu anlamaktır. bayes teoremi, iki olayın koşullu olasılığını ilişkilendirmemizi sağlar. b olayının verildiği a olayının olasılığı, a olayının verildiği b olayının olasılığı ile ilgilidir. bunlar eşit değillerdir ancak yukarıdaki denklem nedeniyle birbirleri ile ilişkilidir.
bir bayes teoremi uygulama örneği
tıbbi testlerden örnek vermek, formülü anlamaya genellikle yardımcı olabilir. diyelim ki yaş grubunuzdaki insanların yüzde birinde meydana geldiği tahmin edilen bir kanser türü için test yaptırdınız. test yüzde 100 güvenilirse pozitif bir testin ne anlama geldiğini bilmek için bayes teoremine ihtiyacınız yok. ancak yine de teoremi sadece nasıl çalıştığını görmek için kullanalım.
hastalık yüz kişiden birinde görüldüğü için p(b) yüzde bir veya 0,01’dir. testin pozitif çıkma olasılığı olan p(e) de öyle. pay ve payda birbirine eşit oldukları için bunları denklemde yerlerine yerleştirdiğiniz zaman birbirlerini sadeleştirirler ve p(b|e) = p (e|b) = 1 olur. böyle bir durum da kanser olma olasılığınız kesindir.
ancak gerçek bir dünyada testler nadiren yüzde yüz güvenilirdir. diyelim ki testiniz yüzde 99 güvenilir. peki bu durumda pozitif bir sonucun kanser olma olasılığı nedir? bayes teoremi gücünü burada gösterir. çoğu insan cevabın yüzde 99 veya buna yakın olduğunu varsayar. oysa ki bayes teoreminin verdiği cevap sadece yüzde 50’dir. nedenini bulmak için verileri bayes denkleminin sağ tarafına yerleştirelim.
p(b) hala 0,01’dir. çünkü bu hastalık 100 kişiden birinde rastlanıyor. kanser hastalığınız varsa testin pozitif çıkma olasılığı olan p(e|b) ise 0,99 olur. çünkü test 100 vakadan 99’unu doğru hesaplayabiliyor. bu durumda p(b).p(e|b) = (0,01).(0,99) yani 0,0099’a eşittir. bu, kanser olma yani gerçekten pozitif çıkma olasılığınızı gösteren değerdir.
peki, payda p(e) ne olacak? işte burası işlerin zorlaştığı yer. p(e), kanser olup olmadığınıza bakılmaksızın testin pozitif çıkma olasılığıdır. başka bir deyişle, p(e) kanser olma ile olmama olasılığınızın toplamı kadardır.
biraz önce kanser olma olasılığı için yaptığımız hesaplamayı şimdi bir kere daha yapmamız gerekir. testimiz yüzde 99 güveniliyor ise yüzde bir yani 0,01 hata veriyor demektir. hastalık 100 kişiden birinde gözlemleniyorsa 100 kişiden 99’unda gözlemlenmiyor demektir. bu 0,99 anlamına gelir. bu iki değeri de birbiri ile çarparsanız sonuç 0,0099’a olacaktır. bu durumda p(e)= 0.0099 + 0.0099= 0.0198 olarak hesaplanır. bunu da formüle eklerseniz sonuç aşağıdaki gibi olur. yani test sonucunuz pozitif çıksa bile bu teste bakarak kanser olduğunuzu anlama olasılığınız yüzde 50’dir.
p(b|e) = 0,0198 / 0,0099 = 0,5
testi tekrar yaptırırsanız, belirsizliği büyük ölçüde azaltabilirsiniz. çünkü kanser olma olasılığınız p(b), şimdi yüzde bir yerine yüzde 50’dir. ikinci testiniz de pozitif çıkarsa, bayes teoremi size kanser olma olasılığınızın yüzde 99 olduğunu söyler. bu örneğin gösterdiği gibi, bayes teoremini yinelemek son derece kesin bilgiler verebilir. ancak testinizin güvenilirliği yüzde 90 ise testin sonucunda iki kez pozitif çıksanız bile kansere yakalanma şansınız hala yüzde 50’den azdır. doktorlar da dâhil olmak üzere çoğu insan için bu olasılıkları anlamak zordur. kanser testi vakası örneği bize yanlış pozitiflere dikkat etmemiz konusunda bir uyarıdır."
devamını gör...