riemann toplamları

matematikte, eğri bir bölgenin alanını bulmak için kullanılan yöntem. bir eğrinin sınırladığı bölgeyi küçük parçalara ayırarak, yaklaşık bir alan hesaplamak için integral kullanma esasına dayanır. anlatmaya çalışayım.

düzgün bir şeklin alanını bulmak kolaydır. mesela bir dikdörtgenin alanını, kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunu çarparak kolayca buluruz. bir üçgenin alanını, taban kenarı ve yüksekliğini çarpıp 2'ye bölerek buluruz. bunlar gibi, düz çizgilerle sınırlanmış alanları rahatlıkla hesaplayabiliriz ama mesela aşağıdaki griye boyanmış alan gibi şekilsiz bir alanı hesaplamak bu kadar kolay değildir:


görselin kaynağı

bir gün, georg friedrich bernhard riemann isimli alman bir matematikçi çıkar ve bu alan hesabını yapmak için yeni bir fikir üretir. buna göre eğrinin altında kalan alanlar öncelikle dikdörtgen bölgelere ayrılır ve bu dikdörtgenlerin alanları ayrı ayrı bulunarak toplanır.

üşenmedim çizdim yine:


şekildeki renkli dikdörtgen alanlara bakın ve bu dikdörtgenler ile eğrinin arasındaki beyaz üçgensel bölgelere dikkat edin. normal şartlarda o üçgensel bölgelerin alanları da, hesaplamak istediğimiz alanın içerisine dahildir. ancak burada bunları doğrudan hesaplayamayan riemann bu kez başka bir yöntem dener. dikdörtgenleri, eğrinin üzerine taşacak şekilde çizerek bunların toplam alanını hesaplar:



gördüğünüz gibi bu sefer de elimizde, hesaplanması gereken alandan daha büyük bir değer vardır. o hâlde gerçek alan, bu iki toplamın arasında bir değer olmalıdır.

bu arada riemann şunu da düşünür: dikdörtgen sayısı ne kadar çok olursa, ortaya çıkan eksik ya da fazla alanların değeri de o kadar küçük olacaktır. o hâlde dikdörtgenler, benim burada çizdiğim gibi 5 tane değil, 3 ya da 10 tane değil, sonsuz tane olmalıdır. şöyle;



görüldüğü üzere, burada ortaya çıkan eksik alanlar, ilk resimdekine kıyasla çok daha küçük. sonsuz tane dikdörtgen oluşturmak, bunların daha da küçük olması, yani verdiğimiz firenin oldukça az olması anlamına gelir. aynı şey, eğrinin sınırından yukarıya taşan dikdörtgenler için de geçerlidir. alanı ne kadar çok dikdörtgene ayırırsak, kayıp ya da fazlalık değerleri de birbirine ve sıfıra o derece yaklaşır. bu hesap da belirli integral kullanılarak yapılır.

burada tabii akla "sınırlı bir alanı nasıl olur da sonsuz tane alana ayırırız?" sorusu gelebilir haklı olarak. bunun cevabı matematikteki limit kavramında yatar. burası onun yeri olmadığından o konuya girmiyorum. ancak özetle diyebiliriz ki riemann'ın bu yöntemi, son derece başarılı bir alan hesaplama yöntemidir.

***

bu konu hakkında bir şeyler okursanız karşınıza sol riemann toplamı, sağ riemann toplamı, alt riemann toplamı, üst riemann toplamı ve orta nokta riemann toplamı gibi çeşitli terimler çıktığını göreceksiniz. kısaca değineyim onlara da.

sol riemann toplamı, yukarıda ilk sırada anlattığım toplamdır. bu ismin verilmesinin nedeni, alanı hesaplanacak olan dikdörtgenlerin uzun kenarlarını bulmak için, bu dikdörtgenlerin x ekseni üzerindeki sol sınır değerlerinin kullanılmasıdır.



gördüğünüz gibi f(x1) kullanıldı. x1 değeri, x2'den daha solda. isimlendirme de buradan geliyor.

sağ riemann toplamı, ikinci sırada anlattığım toplamdır çünkü bu kez dikdörtgenler daha uzundur ve uzun kenarı bulmak için x ekseninde sağ sınır değerleri kullanılır.



gördüğünüz gibi f(x4) kullanıldı. x4 değeri, x3'ün sağında kalıyor.

alt riemann toplamına gelince... eğer eğriyi temsil eden fonksiyon, hesaplama yapılan aralığın tamamında artan fonksiyon ise, alt riemann toplamı ile sol riemann toplamı aynı sonucu verir. fonksiyon azalıyorsa bu kez alt riemann toplamı ile sağ riemann toplamı aynı sonucu verir.

üst riemann toplamında da benzer bir durum vardır. fonksiyon o aralıkta artan fonksiyon ise üst ve sağ riemann toplamları aynı sonucu verirken, fonksiyon azalıyorsa üst ve sol riemann toplamları aynı sonucu verir.

orta nokta riemann toplamı, dikdörtgenlerin alanını hesaplarken, x eksenindeki sağ ya da sol sınırlar yerine dikdörtgenlerin tam ortasından geçip onları 2'ye bölen eksenleri sınır olarak kabul eder.

***

bir a ve b kapalı aralığındaki f(x) fonksiyonunu eğrisinin altında kalan alanı hesaplamak için kullanılan formül sonuç olarak şu şekildedir:

sayısal elektronikte, bir sinyalin belirli bir zaman aralığındaki seviyesini ölçmek için de kullanılır .
verilen zaman aralığında, ölçüm hassasiyetinizi sağlayacak kadar örnek alır, bu örnekleri analogtan sayısala çevirirsiniz. sonra bunların toplar ve örnek sayısına bölersiniz. bu sinyalin sadece ya pozitif ya da negatif yanındaki değeri verir. örneklerin karesini alıp topladıktan sonra örnek sayısına böler, en sonunda da karekökünü alırsak gerçek değeri (true rms değer) bulmuş oluruz.
sağolasın riemann