matematik nasıl çöker sorusu

edit:bende biliyorum matematiğin çökmediğini, asıl amacım bu anlattığımın neden böyle olduğu idi ve en tatmin edici cevapı lycanthropy adlı yazar #2166646 tanımı meja adlı yazar #2166774 tanımı ile verdi.bilimsel hesap makinesi yazan arkadaşlarda haklı ama bu benim asıl aklımdaki soruyu cevaplamıyordu. )

öncelikle anlatacaklarım anlamak için (bkz: devirli ondalık sayılar) başlığına göz atmalısınız eğer ne olduğunu bilmiyorsanız.

aşağıda yaptığım işlemi bana açıklayabilecek matematikçi var mı?

ilk önce 1 sayısını 3 e bölüyoruz



daha sonra 3 ile çarpıyoruz



(burada 0.9..... diye bor sayı çıkıyor ve bu matematikte devirli sayı olarak geçer, sonusuza kadar gider ve matematikçiler bunun 1 e eşit olduğunu söyler. bundan sıkıntı yok eyvallah ama az sonra işler karışacak)

şimdi çıkan sonucu 9 ile çarpıyoruz



şimdi elimizdeki sayıyı nasıl elde ettik bunu hatırlayalım;önce 1 sayısını 3 e böldük, sonra 3 ile çarptık ve matematikçilerin 1 e eşit dediği 0.9999.... sayısını 9 ile çarptık.eğer matematikçiler doğru ise (yani 0.9999....... sayısı 1 e eşit ise 0.99999....×9 = 9 olması gerekir lakin değil.

aradaki farkı çıkarınca



bu sayı oluyor,bu garip sayının ne olduğunu anlamak için 1 ekliyoruz



yani elimizdeki garip sayı



bu imiş. o zaman arada bu kadar fark çıkıyorsa 0.99999..... diye giden sayı nasıl 1 sayısına eşit oluyor?

senin kullandığın hesap makinesi bakkalların işlem yaparken kullandığı basit hesap makinesi.

google playden bilimsel hesap makinesi indirip 1 i 3 e bölüp çıkan sonucu 3 le çarparsan çıkan sonucun yine 1 olduğunu görürsün.

edit ekleyeyim

0,9 devirli matematiksel olarak ve tam anlamıyla 1 sayısına eşittir.

edit: ayrıca telefonundaki hesap makinesindeki sayılar sonsuza kadar devretmiyor. onlar devirli sayı değil yani.

(bkz: devlet bahçeli)

osmanlı'nın çöküşü gibi

o sırada matematik: vurursunuz eyvallah da çökmezsem sıkıntı büyük!

işte beyyleeee ;

hesap makinelerinin yaklaşım ve yuvarlama algoritmaları farklılık gösterir, belli ondalıklardan sonra hata yapmaya da başlayabilir. ardı ardına kök alırsan sıfıra ya da bire de ulaşabiliriz bazı makinelerde. bu demek değil ki tüm sayılar, biri kendiyle çarparak elde ediliyor.

sonuçta matematiksel yapılardan farklı olarak sonlu, sınırlı, ayrık, sayılabilir birimlerle çalışıyorsun programcılıkta ve elektronikte. süreklilik ve sonsuzluğa yaklaşımlar yapıyorsun.

buraya kadar okuyan çıktıysa konuyla ilgilidir, yarın bunların programlarını yazarken doğru kütüphaneleri kullandığınızdan emin olun.

çökmez de yeni alanlar açar.

(bkz: david hilbert)

1900'lü yıllarda matematik sallantiya girmişti. matematigi pez****lerin elinden cekip kurtarip öklid geometrisini daha güçlü bir hale getirdi.sonra kendi adiyla anilan bir uzay inşa etti.

temel mantık su işi sonlu boyutta her sey güzeldi yani r kare, r küp cok guzel ama peki sonsuz boyutta.. orada eksik kalıyordu. david hilbert çekilin ben matematikçiyim diyerek el atti. suan da kullandığımız matematigin mimarlarindan biridir.

(bkz: hilbert space)

ayrıca (bkz: küme kuramı çöken matematikçi)

cevap olarak "henüz bir yolu bulunmadı" denebilecek soru.

önce 0,99999... neden 1 kabul edilir, kısaca değineyim.

9 / 10 = 0,9
1 ile bu sayı arasındaki fark:
1 - 0,9 = 0,1

99 / 100 = 0,99
1 ile bu sayı arasındaki fark:
1 - 0,99 = 0,01

999 / 1000 = 0,999
1 ile bu sayı arasındaki fark:
1 - 0,999 = 0,001

sıralamayı bozup rastgele herhangi bir tane daha yazalım:
9999999999 / 10000000000 = 0,000000001

sayının basamakları arttıkça 1 ile arasındaki fark küçülüyor. dolayısıyla devreden sayı sonsuza doğru gittikçe, fark da 0'a yaklaşır. teoride de sonsuzda fark 0 olur. yani bu nedenle;
1 - 0,99999... = 1 - 0 = 1 olarak kabul edilir.

***

genellikle ondalık sayılarda yukarıdaki mevzunun kısa bir yolunu uygularız. sayının virgülden sonraki basamağına bakarız ve 5'ten küçükse olduğu gibi bırakır, 5 ya da 5'ten büyükse solundaki rakamı bir üst rakama yuvarlarız. ne demek istiyorum?

diyelim elimizde 8, 738 şeklinde bir sayı var. biz bu sayıyı virgülden sonra 1 rakam kalacak kadar kısaltmak istersek en sağdan kontrol etmeye başlarız. en sağda 8 var. bu sayı 5'ten büyük olduğu için bunun solundaki 3 rakamını 4'e yuvarlarız ve artık 8'i yazmayız. artık sayımız oldu 8,74

aynı şeye devam ediyoruz. en sağda 4 var. 5'ten küçük olduğu için soldaki rakama hiç dokunmuyoruz ve 4'ü de ortadan kaldırıyoruz: 8,7

eğer virgülden de kurtulalım dersek aynı şeyi yapmaya devam edebiliriz. 7 rakamı 5'ten büyük olduğundan solundakini yükseltip 7'yi siliyoruz ve elimizde sadece 9 kalıyor.

en baştaki 0,9999... sayısını da bu şekilde düşündüğünüzde en son elinizde sadece 1 kaldığını göreceksiniz.

***

gelelim başlıktaki mevzuya... aynı işlemleri yazalım sırayla:

1 / 3 = 0,3333... (normalde sonsuza dek gidiyor ama hesap makineleri belirli basamaklarda kesiyor sayıyı mecburen)
0, 3333 x 3 = 0,9999
0,9999 x 9 = 8,9991
9 - 8,9991 = 0,0009

burada duralım. 9'dan çıkardığımız 8,9991 sayısını tek basamağa kadar, yukarıdaki 2. kısımda anlattığım yöntemle indirelim. sondaki 1 çöp. bir sonraki 9, solundaki 9'u 0 yapıp silinecek bla bla bla... en son elimizde kalacak olan 8,9. bunu da aynı yöntemle yuvarladığımızda elimizde kala kala 9 kalıyor. yani işlemimizi tek basamaklı sayılarla yeniden yazarsak artık elimizde;

9 - 9 = 0,0009

var.

sonuç olan sayıyı, yani 0,0009'u da 2. yöntemle tek basamağa indirgersek elimizde kalan sayı 0 olur. artık işlem;

9 - 9 = 0

şekline dönüştü ki bu da zaten normal şartlarda iyi bildiğimiz bir işlem.

devirli ondalık kesirlerin ne şekilde bayağı kesir halinde ifade edileceği 7nci sınıfta anlatılıyordu.
matematiği çökerten yazar, ya unutmuş, ya anlamamış, ya da pencereden dışarı bakıyormuş.
bir örnekle anlatalım: sayımız 0.718718718 olsun. (sayının tamsayı kısmı varsa o kısmı çekip kenara koyarız.)
x= 0.718718718... ===> her iki tarafı 1000'le çarpalım (neden 1000? çünkü üç basamak tekrar ediyor)
1000x= 718.718718718... => 1000x= 718 + 0.718718.... burada 0.718718718 kısmı "x"'e eşittir
1000x= 718 +x ===> 999x = 718 ====> x = 718 /999 yapar.
kısa yol: kaç sayı devrediyorsa 1in yanına o kadar sıfır konulur, 1 çıkartılıp sadece "9" rakamından ibaret bir sayı elde edilir. sonra devreden kısım tamsayı olarak alınır ve bu sayıya bölünür.
örnek : 0.142857142857142857142857142857... sayısı
kaç basamak devrediyor? 142857 altı basamak. 1,000,000. bir çıkartalım. 999,999
o halde 0.142857142857142857142857142857..= 142857/999,999dur. ( aaaa bir de bakıyoruz ki 999,999 sayısı 142857 sayısının tam 7 katıymış. yani aradığımız kesir 1/7'ymiş)

şimdi bu bildiklerimizi 0,9999999.. sayısına uygulayalım.
kaç sayı devrediyor? bir . o halde 1'in yanına tek sıfır koyup 10 sayısını, bundan da 1 çıkartıp 9 sayısını elde ediyoruz. devreden sayı 9'du. bu iki dokuzu birbirine bölersek 1 (bir) elde ediyoruz.
hesap makinelerinde elde ettiğiniz bölme sonsuz bölme değildir. makinenin kaç bit işlem yaptığı, ne kadar iterasyona izin verdiğiyle ilgili bir sonuçtur.